Подобные треугольники и теорема Фалеса
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
и 
. На 
как на диаметре построена окружность. Эта окружность
пересекает отрезки 
и 
в точках 
и 
соответственно. Найдите длину отрезка 
если известно, что 
и
Источники:
Подсказка 1
Нам даны какие-то стороны в прямоугольных треугольниках, так что сразу хочется найти оставшиеся стороны в них ;) что еще хочется сказать о прямоугольных треугольниках на картинке? Как связать их стороны?
Подсказка 2
Находим, что CD = 15, CE = 24. Рассматривая треугольники, в которых они состоят, замечаем, что треугольники ABD и ACE подобны! Какие полезные соотношения можно из этого вывести?
Подсказка 3
AD/AE = 5/6 = (AE+7)/(AD+15). Видим, что из этого можем найти AD и AE! Какие выводы можно сделать из их длин?
Подсказка 4
AD=15, AE=18. Интересно, у нас появились равнобедренные треугольники ;) а что можно вывести из того, что малая окружность построена на DE как на диаметре?
Подсказка 5
Треугольник EDA — равнобедренный, и в нем DF — высота. Нам хочется как-то подобраться к подобию треугольника AFG с кем-то, чтобы найти нужный отрезок. Стало быть нужно посчитать углы… для этого не забываем, что при проведении высот образуется несколько вписанных четырехугольников ;)
Из прямоугольных треугольников 
и 
получаем 
и 
.
Из подобия прямоугольных треугольников 
и 
получаем
Из этих двух соотношений на 
и 
получаем 
. Таким образом, 
, откуда 
, то есть
треугольник 
равнобедренный. Поскольку же 
— диаметр окружности, 
, то есть 
— высота и медиана
треугольника 
. Стало быть, 
. Наконец, отметим, что четырёхугольники 
и 
вписанные, откуда
следует, что 
. Значит, 
, то есть треугольники 
и 
подобны. Но, как мы отметили выше,
. Отсюда следует, что 
и, стало быть, 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
