Тема . Счётная планиметрия

Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела счётная планиметрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64039

В треугольнике ABC  отрезки AD  , BE  и CF  , соединяющие вершины треугольника с противоположными сторонами, пересекаются в точке O.  Прямая EF  пересекается с прямой BC  в точке X.  Докажите, что длина отрезка XD  является средним гармоническим длин отрезков XB  и XC,  то есть

     (XB −1+ XC −1)−1
XD =  ------2-----
Показать доказательство

PIC

По теореме Чевы для треугольника ABC  :

BF- ⋅ AE-⋅ CD-= 1
 FA  EC  DB

По теореме Менелая для треугольника ABC  и прямой FE :

BF- ⋅ AE-⋅ CX-= 1
F A  EC  XB

Получаем, что

CD-   CX-
DB  = XB   ⇐⇒   CD ⋅XB  =DB ⋅CX

XB ⋅(XC − XD )= XC ⋅(XD − XB )

2XB ⋅XC = XD ⋅(XC +XB )

X2D- = XCXB-+⋅XXBC

-2-= -1- +-1-
XD   XB   XC

     (XB-−1+-XC-−1)−1
XD =        2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!