Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Рассмотрим картинку, соответствующую условию задачи с точностью до переобозначений:

Заметим, что треугольники с их внутренними точками образуют такое покрытие внутренности исходного треугольника, что каждая его точка принадлежит не более, чем двум из трёх кусков покрытия. Тогда по лемме о линолеуме площадь непокрытой части – – равна сумме площадей покрытых дважды областей – – тогда и только тогда, когда общая площадь покрытия – – равна площади всего треугольника которую мы обозначим неизвестной

Первое решение.

Рассмотрим треугольник двигая точку вдоль “оранжевой” прямой площадь треугольника остаётся постоянной по теореме о перетягивании площади по рельсам Евклида (пользуемся тем, что оранжевая” прямая параллельна основанию треугольника). Тогда передвинем точку в точку Аналогично поступим с точками и В итоге

Итак, сумма площадей “синих” треугольников, образованных на пересечениях треугольников и равна площади не замощённого участка треугольника (зелёного треугольника) по теореме о паркете.

Второе решение.

По теореме об отношении площадей треугольников с общей высотой Ясно, что эта сумма равна тогда и только тогда, когда

Здесь уже настало время пользоваться природой появления точек от точки Обозначим точки пересечения чевиан, пересекающихся в точке со сторонами треугольника за

Тогда по теореме Фалеса искомое соотношение эквивалентно

Это соотношение для конкурентных чевиан известно как теорема Жергонна. Доказать её можно так: площади треугольников и относятся как высоты из вершин и соответственно, потому что сторона общая, а высоты из этих вершин относятся так же, как и к по обобщённой теореме Фалеса. Проделав аналогичные рассуждения с точностью до переобозначений,