Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
проведены медианы 
и 
На стороне 
выбрана точка 
а на сторонах 
и 
выбраны точки 
и 
такие, что 
параллельно 
а 
параллельно 
Докажите, что отрезок 
делится медианами на три равные
части.
Подсказка 1
Обозначим пересечение KL и BN за Q. Наша цель - доказать, что KQ/QL=1/2. Откуда вообще искать отношение KQ/QL?
Подсказка 2
Верно, искомое отношение можно найти из теоремы Менелая для △CKL и точек B, Q, N. Далее будет полезно обозначить точки A₁ и B₁ пересечения прямых из C, параллельных BN и AM с BA, и перенести отношения.
Подсказка 3
Теперь отношения, через которые выражено KQ/QL, это BA₁/PB и BP/B₁B, в произведении которых остаётся лишь BA₁/B₁B. А его можно посчитать, ведь мы знаем, как BA₁ и B₁B относятся.
.png)
Первое решение. Пусть 
движется линейно по прямой 
тогда точка 
является точкой пересечения прямой 
которая имеет
постоянное направление и проходит через 
и прямой 
которая не движется, движется линейно. Аналогично, 
движется
линейно.
Пусть 
— точка на отрезке 
такая, что 
Заметим, что 
так же движется линейно. Осталось доказать, что в двух
положениях 
лежит на 
Рассмотрим положение 
Тогда 
тогда прямые 
и 
совпадают, откуда очевидно требуемое.
Рассмотрим положение 
Тогда 
и 
следовательно 
точка на медиане 
такая, что 
то есть
является центром тяжести исходного треугольника, а значит лежит на медиане 
что завершает доказательство.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Пусть 
— пересечение 
и 
По теореме Менелая для 
и точек 
лежащих на прямых,
содержащих его стороны и принадлежащих одной прямой
следовательно 
Обозначим 
и 
точки пересечения прямых из 
параллельных 
и 
с 
Понятно,
что 
и 
являются средними линиями треугольников 
и 
соответственно, а значит, 
По теореме
Фалеса для троек параллельных прямых 
и 
Итак,
из чего следует требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
