Лемма 255
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с центром 
вписана в треугольник 
и касается его сторон 
, 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Прямые 
и 
пересекают прямую 
в точках 
и 
Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника
, точка 
и точка 
лежат на одной прямой.
Источники:
Подсказка 1
Учтите ловушку задачи, что точка О это центр вписанной окружности, а не описанной! На пересечении каких объектов лежит центр вписанной (!) окружности?
Подсказка 2
Конечно! Тогда для работы с биссектрисами углы треугольника удобнее обозначать за 2альфа, 2бетта, 2 гамма. Теперь надо понять: на пересечении каких объектов лежит центр описанной (!) окружности?
Подсказка 3
Давайте отметим точку Т пересечения DO и серединного перпендикуляра к стороне ON. Наша цель - показать, что эта точка T является пересечением всех серединных перпендикуляров, то есть центром описанной окружности. Как можно подступиться к центру окружности в терминах углов?
Подсказка 4
Через центральный и вписанный угол! Нужно доказать, что угол OTN в два раза больше фиксированного угла OMN. Осталось досчитать углы!
Первое решение.
Обозначим углы 
через 
. Тогда
и
Здесь 
и выбрана из условия
Заметим, что такое расположение точки 
обусловлено тем, что 
. Далее 
из
равенства отрезков касательных. Тогда
То есть 
, а также эта точка лежит на серединном перпендикуляре к 
в силу выбора 
. Тогда
она должна являться центром описанной окружности 
, поскольку для неё это свойство выполнено, а для точек
“выше” и “ниже” на прямой 
будет меньше и больше соответственно (то есть точка, из которой видна 
под
углом 
всего одна). Здесь важно заметить, что центр описанной окружности лежит именно по эту сторону от 
,
поскольку
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Продолжим отрезки 
и 
до пересечения в точке 
.
Из леммы 
получаем, что 
и 
— высоты треугольника 
, а 
— его ортоцентр. Поскольку 
, то точка 
—
основание третьей высоты треугольника 
. Точки 
и 
лежат на окружности с диаметром 
поэтому центр этой окружности,
как и точка 
лежит на прямой 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
