Лемма 255

Первое решение.

Обозначим углы через . Тогда

и

Здесь и выбрана из условия

Заметим, что такое расположение точки обусловлено тем, что . Далее из равенства отрезков касательных. Тогда

То есть , а также эта точка лежит на серединном перпендикуляре к в силу выбора . Тогда она должна являться центром описанной окружности , поскольку для неё это свойство выполнено, а для точек “выше” и “ниже” на прямой будет меньше и больше соответственно (то есть точка, из которой видна под углом всего одна). Здесь важно заметить, что центр описанной окружности лежит именно по эту сторону от , поскольку

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Продолжим отрезки и до пересечения в точке .

Из леммы получаем, что и — высоты треугольника , а — его ортоцентр. Поскольку , то точка — основание третьей высоты треугольника . Точки и лежат на окружности с диаметром поэтому центр этой окружности, как и точка лежит на прямой