Лемма 255
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник 
с гипотенузой 
касается сторон 
в точках
соответственно. Пусть 
– высота треугольника 
Докажите, что точка 
лежит на биссектрисе угла
Источники:
Подсказка 1
Попробуем посчитать углы! Что можно сказать об углах внутри четырёхугольника CA₁HB₁? Нам бы очень хотелось узнать что-то интересное про точку H ;)
Подсказка 2
Угол AHC — прямой! Что тогда можно сказать про точку H? Как связать её с нашим большим треугольником?
Подсказка 3
Подумайте, в каких точках пересекет A₁C₁ окружность, построенная на AC, как на диаметре! Сколько их таких и каким свойством они обладают?
Заметим, что 
По теореме об угле между хордой и касательной 
Таким образом,
треугольник 
— равнобедренный. Треугольники 
и 
равны по третьему признаку (
как отрезки
касательных). Следовательно, 
Также заметим, что 
поскольку четырёхугольник
вписанный. Получается, что
Окружность, построенная на 
как на диаметре, пересекает 
в двух точках. По лемме 
эти точки — точки пересечения
с биссектрисами углов 
и 
Предположим, что 
— биссектриса угла 
Тогда 
а значит, 
Как мы выяснили
ранее, 
а значит, 
Таким образом, 
но такого быть не может. Следовательно,
этот случай мы отбросили, то есть 
лежит на биссектрисе угла 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
