Лемма 255
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность треугольника 
касается сторон 
и 
в точках 
и 
соответственно. 
– средняя
линия треугольника 
параллельная 
– точка пересечения 
и 
Докажите, что 
– биссектриса угла
Подсказка 1
По сути нам нужно доказать, что средняя линия, биссектриса и прямая, соединяющая точки касания вневписанной окружности, пересекаются в одной точке :) Очень часто помогает сначала провести две из прямых и показать, что их точка пересечения лежит на третьей. Какие из двух было бы удобнее провести?
Подсказка 2
Проведём биссектрису и прямую, соединяющую точки касания вневписанной окружности. Пусть они пересекаются в точке K. Что можно интересного про неё заметить? Какие есть углы с вершиной в этой точке?
Подсказка 3
Каким является ∠AKC?
Подсказка 4
Он прямой! Тогда можно выделить некоторые полезные отрезки в прямоугольном треугольнике :)
Существует не более одной точки пересечения средней линии 
с прямой 
поэтому если мы покажем, что точка пересечения
биссектрисы угла 
с 
является таковой, задача будет решена.
Пусть 
— точка пересечения биссектрисы угла 
и прямой 
Докажем, что 
— средняя линия. По лемме 
угол
прямой. Заметим, что 
— медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, а значит треугольник 
—
равнобедренный. Следовательно, 
Значит, 
и 
проходит через середину 
то есть является средней линией. Получили требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
