Лемма 255
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
выполняется равенство 
Вписанная в треугольник окружность касается сторон 
и 
в
точках 
и 
соответственно; 
и 
– её диаметры. Докажите, что точки пересечения прямых 
и 
c прямой 
равноудалены от середины отрезка 
Подсказка 1
Давайте попробуем продлить AE до пересечения по стороной треугольника в точке E'. Нам хочется узнать что-то полезное про новую точку. Давайте попробуем её как-то связать с окружностями.
Подсказка 2
Докажите, что E' лежит на вневписанной окружности треугольника ABC!
Подсказка 3
Для доказательства того, что E' лежит на вневписанной окружности треугольника ABC, попробуйте воспользоваться гомотетией, ведь мы умеем переводить окружность в окружность ;)
Подсказка 4
Отлично, теперь мы можем посчитать отрезки на стороне AC! Каким будет отрезок CE'? Что можно сказать о треугольнике ACE'?
Подсказка 5
CE' = AC! Здорово, тогда мы можем что-то сказать и про объекты, проведенные внутри него, и даже посчитать расстояние от середины AE' до AC!
Известная лемма. Пусть дан треугольник 
его вписанная окружность с центром 
касается стороны 
в точке 
а
вневписанная — в точке 
Обозначим вторую точку пересечения 
с вписанной окружностью, через 
Тогда точка 
лежит на
.png)
Замечание. Лемму легко доказать гомотетией, переведя вписанную окружность во вневписанную.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Продлим 
до пересечения с 
в точке 
По лемме точки 
— точкa касания 
с соответствующей вневписанной
окружностью. Значит,
То есть 
— равнобедренный.
Пусть 
— середина 
тогда 
— биссектриса угла 
и отрезок 
виден из точки 
под прямым
углом.
Следовательно, по лемме 
точка 
лежит на 
притом расстояние от 
до середины 
равно 
(медиана, проведённая
к гипотенузе прямоугольного треугольника). Аналогично расстояние от точки пересечения 
и 
до середины 
равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
