Лемма 255

Известная лемма. Пусть дан треугольник его вписанная окружность с центром касается стороны в точке а вневписанная — в точке Обозначим вторую точку пересечения с вписанной окружностью, через Тогда точка лежит на

Замечание. Лемму легко доказать гомотетией, переведя вписанную окружность во вневписанную.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Продлим до пересечения с в точке По лемме точки — точкa касания с соответствующей вневписанной окружностью. Значит,

То есть — равнобедренный.

Пусть — середина тогда — биссектриса угла и отрезок виден из точки под прямым углом.

Следовательно, по лемме точка лежит на притом расстояние от до середины равно (медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника). Аналогично расстояние от точки пересечения и до середины равно