Тема . Классические неравенства

Правильная замена и преобразование выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126056

Про положительные числа $a,$ $b,$ $c$ известно, что $-3-≥ a+ b+c. abc$ Докажите, что выполнено неравенство

1 1 1 a + b + c ≥ a+ b+ c.

Показать доказательство

Введём параметр $λ> 0$ и сделаем замену:

a= λa1, b= λb1, c =λc1.

Исходное неравенство принимает вид:

---3--- 4 λ3a1b1c1 ≥ λ(a1+ b1 +c1) =⇒ 3≥ λ(a1+ b1+ c1)a1b1c1.

Обозначим $S =a1 +b1+ c1,$ $Q= a1b1c1 :$

∘--- 3 ≥λ4SQ =⇒ λ2 ≤ -3-. SQ

Неравенство, которое нужно доказать, после замены имеет вид:

1( 1- 1- 1-) a1b1+-b1c1+-c1a1 2 λ a1 + b1 + c1 ≥ λS =⇒ Q ≥ λ S.

Пусть $P = a1b1+ b1c1+ c1a1 :$

P ≥ λ2SQ.

Усилим неравенство с учетом $∘ --- λ2 ≤ S3Q-:$

∘ --- P ≥ -3-⋅SQ = ∘3SQ. SQ

После возведения в квадрат получаем

2 P ≥ 3SQ.

Подставим выражение для $P$ и раскроем скобки

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P = (ab+ bc+ca) =a b +b c +c a + 2ab c+2abc +2a bc.

По неравенству Коши:

$pict$

Сложим все три эти неравенства и получим

2(a2b2 +b2c2 +c2a2)≥ 2(ab2c+abc2+ a2bc)=2abc(a+ b+ c).

a2b2+ b2c2+ c2a2 ≥ abc(a+ b+c).

Добавим к обеим частям неравенства $2abc(a+ b+c):$

P2 ≥abc(a+ b+ c)+ 2abc(a+b+ c)= 3abc(a +b+ c) =3SQ.

При $λ =1$ получаем:

1 1 1 P ≥SQ =⇒ a + b + c ≥a+ b+ c.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse