Тема . Классические неравенства

Правильная замена и преобразование выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126058

Докажите, что для любых действительных чисел $a,$ $b,$ $c,$ $d$ выполнено неравенство

2 2 2 2 9- (a − a+ 1)(b − b+1)(c − c+1)(d − d+ 1)≥ 16(a− b)(b− c)(c− d)(d − a).

Показать доказательство

Введём новые переменные:

1 1 1 1 u= a− 2, v =b− 2, w= c− 2, z = d− 2

Тогда:

( )2 ( ) a2− a +1 = u + 1 − u+ 1 +1= u2+ 3 2 2 4

Аналогично:

b2− b+ 1= v2+ 3, c2− c+1 =w2 + 3 , d2− d +1 =z2+ 3 4 4 4

Разности преобразуются так:

a− b= u− v, b− c= v− w, c− d= w − z, d− a =z − u

Подставляя, получаем:

( ) ( )( )( ) u2+ 3 v2+ 3 w2 + 3 z2+ 3 ≥ 9(u− v)(v− w)(w − z)(z− u) 4 4 4 4 16

81-(4u2+ 1)( 4v2-+1) (4w2 +1)( 4z2-+1) ≥ 9-(u − v)(v− w)(w− z)(z− u) 256 3 3 3 3 16

Разделим обе части на $-81- 256 :$

( 4u2 ) (4v2 )( 4w2 ) (4z2 ) 16 -3-+ 1 -3-+ 1 -3-+ 1 -3-+ 1 ≥ -9 (u− v)(v− w)(w − z)(z− u)

Введём:

p= 2√u, q = 2√v, r= 2√w, s= 2√z- 3 3 3 3

Тогда:

4u2 2 √3- -3- =p , u − v =-2-(p− q)

Подставим:

(p2+ 1)(q2+1)(r2+ 1)(s2+ 1) ≥(p− q)(q− r)(r − s)(s− p)

Для любой пары чисел $a,b$ верно:

2 2 2 (a + 1)(b + 1)≥ (a− b) ,

2 2 22 2 2 2 a + b+ a b +1≥ a − 2ab+ b ⇐ ⇒ (ab+1) ≥ 0.

Перемножив данные неравенства для пар $(p,q),(q,r),(r,s),(s,q),$ получим:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (p + 1) (q+ 1)(r +1) (s + 1) ≥(p− q) (q − r)(r− s)(s− p)

Остается извлечь корень из обеих частей и получить требуемое.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse