Правильная замена и преобразование выражений

Подсказка 1

Самой сложной частью доказательства задач подобного вида, как правило, является поиск правильного подхода к дробям. Одно из самых естественных действий — приведение дробей к общему знаменателю, но делать это для исходного выражения довольно сложно, а с полученным видом выражения будет сложно работать. Чтобы привести дроби к общему знаменателю необходимо оценить исходное неравенство суммой дробей, знаменатели которых имели бы попарные общие множители. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Работать с квадратами сложно, а избавиться от них можно, если применить неравенство между средним арифметическим и геометрическим для двух чисел (тогда корень из произведения двух исходных чисел будет возведен в квадрат). Как же все таки привести исходные дроби к новому виду, чтобы их знаменатели имели попарные общие множители?

Подсказка 3

Каждую из дробей можно оценить как 1/(2a+b+c)^2 ≤ 1/{4(a+b)(a+c)} - квадраты ушли, у знаменателей новых дробей появились общие знаменатели. Это было необходимо для приведения полученных дробей к общему знаменателю. Сделайте это

Подсказка 4

Таким образом, исходную сумму мы оценили сверху как (a+b+c)/(2(a+b)(b+c)(c+a)). Сумма всех переменных чисел в числителе это хорошо, поскольку нам дано условие на нее, а вот с произведением попарных сумм работать куда сложнее. Как можно оценить его через сумму данных чисел?

Подсказка 5

Докажите неравенство 9(a+b)(b+c)(c+a)≥8(a+b+c)(ab+bc+ca). Таким образом, исходное выражение можно оценить как 9/{2*8(ab+bc+ca)}. Какую оценку необходимо доказать для числа ab+bc+ca, чтобы завершить доказательство неравенства?

Подсказка 6

Достаточно доказать, что это число не меньше 3. Мы еще не воспользовались условием a+b+c=1/a+1/b+1/c. Что оно значит для суммы попарных произведений?

Подсказка 7

Что ab+bc+ca=abc(a+b+c). Как это помогает в доказательстве неравенства?

Подсказка 8

Теперь достаточно проверить, что (ab+bc+ca)^2 ≥ 3abc(a+b+c) — это же неравенство верно для произвольных чисел. Докажите данное неравенство и тем самым завершите доказательство.