Тема . Классические неравенства

Правильная замена и преобразование выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75856

Про положительные числа $a,a ,...,a 1 2 6$ известно, что $a + a +a − a − a − a = 3 1 2 3 4 5 6$ , и $a2+ a2+ ...+ a2 =9. 1 2 6$ Докажите, что $a1a2...a6 ≤ 1.$

Показать доказательство

Выполним замену $x =a − a ,y =a − a ,z =a − a . 1 4 2 5 3 6$ Тогда

a1+a2 +a3− a4− a5− a6 = (a1− a4)+(a2− a5)+ (a3 − a6)= x+y +z =3

и

2 2 2 a1+a2+ ...+ a6− 2(a1a4 +a2a5+a3a6)= 9− 2(a1a4+ a2a5+a3a6)

(a − a )2+(a − a)2+ (a − a )2 = 9− 2(a a + aa + a a) 1 4 2 5 3 6 1 4 25 36

x2 +y2+ z2 = 9− 2(a1a4 +a2a5+a3a6)

По неравенству между средним квадратичным и геометрическим верно, что

∘ ---------- x2+-y2+-z2 x+-y+z- 3 ≥ 3

после возведения каждой из частей неравенства в квадрат и домножения на $3$ имеем

(x+ y+z)2 32 x2+ y2 +z2 ≥----3----= -3 =3

следовательно,

9− 2(a1a4 +a2a5+a3a6)≥3

то есть

a1a4+a2a5+ a3a6 ≤ 3

Осталось заметить, что по неравенству между средним арифметическим

√3---------- a1a4+ a2a5+ a3a6 ≥3 a1a4a2a5a3a6

после сокращения на $3,$ получим требуемое.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse