Тема . Классические неравенства

Правильная замена и преобразование выражений

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#96365

Для положительных чисел x,  y,  z  докажите неравенство

  2     2  2
10x + 10y +z ≥ 4(xy +yz+ zx)
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть это неравенство как неравенство от одной переменной.

Подсказка 2

Итак, какую переменную ни взять как основную, это всегда будет квадратный трëхчлен. А в каких случаях он не меньше 0?

Показать доказательство

Посмотрим на это как на неравенство относительно z :

 2             2    2
z − 4(x +y)z+ 10x + 10y − 4xy ≥ 0

Дискриминант равен 16(x+ y)2− 40x2− 40y2+ 16xy = −24(x− y)2.  Видим, что он неотрицателен, а значит, квадратный трёхчлен принимает только неотрицательные значения, что и требовалось.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!