Неравенство о средних
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа 
таковы, что 
Докажите неравенство
Подсказка 1
Прибавим к обеим частям неравенства 2. Тогда достаточно доказать, что левая часть не меньше a + b + c = 3. Чтобы доказать это, надо как-то переписать новое слагаемое 2. Для этого зададимся целью сократить знаменатели наших дробей неравенством о средних. Как можно тогда переписать нашу двоечку?
Подсказка 2
Теперь мы хотим, чтобы в числителях появились выражения из знаменателей. И еще у нас есть условие a + b + c = 3. Тогда 2 = (a/3 + (2b + c)/9) + (b/3 + (2c + a)/9) + (c/3 + (2a + b)/9). Как теперь можно доказать, что левая часть не меньше, чем a + b + c?
Подсказка 3
Конечно! Мы преобразовывали 2 для того, чтобы сократить знаменатели. Тогда перегруппируем наши дроби и применим неравенство о средних для троек!
Первое решение.
Добавим к первой дроби 
ко второй — 
к третей — 
Таким образом мы к левой части добавили 
то есть
доказать теперь требуется
Тогда для сумм троек слагаемых по неравенству между средним арифметическим и геометрическим каждая больше соответсвенной переменной:
Тогда вся сумма больше либо равна
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
В силу неравенства Гельдера имеем
Тогда имеем
В силу полученного неравентсва
Тогда достаточно показать, что
что верно по неравенству о средних.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
