Тема . Классические неравенства

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73535

Для положительных чисел $x ,x ,...,x ,y ,y,...,y 1 2 100 1 2 100$ докажите неравенство

∑100 √x--1+√y- ≥∘-∑100-1000∘-∑100-- i=1 i i i=1xi+ i=1yi

Показать доказательство

Применим КБШ для наборов $∘ √-1√--- xi+ yi$ и $∘ √x-+-√y- i i$

(1∑00 ) (10∑0 -- --) √x-1+-√y- ⋅ √ xi+ √yi) ≥ 1002 i=1 i i i=1

Получаем, что левая часть исходного неравенства не меньше $1002∕∑100(√xi+ √yi). i=1$ Осталось доказать, что

-----1002---- -------1000------- ∑10i0=1(√xi+ √yi) ≥ ∘∑100-xi+∘ ∑100yi i=1 i=1

После равносильных преобразований получается нам надо доказать неравенства

1∑00 √-- ┌││10∑0--- xi ≤ 10∘ xi i=1 i=1

100 ┌│100--- ∑ √yi ≤ 10│∘ ∑ yi i=1 i=1

Это верно по неравенству о среднем арифметическом и квадратическом:

∘ ------- ∑10i=01√xi- ∑10i=01-xi 100 ≤ 100

∑ √ -- ∘ ∑------ --10i=01--yi-≤ --1i=001-yi 100 100

После преобразований это будет ровно то, что нам нужно. Значит, и наше исходное неравенство верно.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse