Тема . Классические неравенства

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74143

Для положительных a,b,c  докажите неравенство

--a-  --b-  --c-  --d-
b+ c + c+ d + d+ a + a+ b ≥ 2
Показать доказательство

Домножим каждую дробь на ее числитель. Получим:

-a2--- --b2-   -c2--- --d2--
ab+ac + bc+ bd + cd+ ca + da+ db

Теперь можем воспользоваться КБШ для дробей:

  a2      b2      c2     d2             (a+b +c+ d)2
ab+-ac + bc+bd + cd+-ca-+ da-+db-≥ab+-ac+ad-+bc+-bd+-cd+-2(ac+-bd)

Докажем огрубленное неравенство:

--------(a+-b+-c+d)2---------≥2
ab+ac+ ad+ bc+ bd+ cd+ 2(ac+ bd)

Теперь домножив обе части неравенства на знаменатель и раскрыв квадрат получим:

 2  2   2  2
a + b+ c + d ≥2ac+ 2bd

(a− c)2+ (b− d)2 ≥ 0

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!