Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что при любых положительных 
выполнено неравенство
Подсказка 1
«В лоб» применить КБШ здесь будет плохой идеей, так как не ясно, что потом делать с корнями. Поэтому воспользуемся приемом из предыдущей задачи, домножим и разделим каждую дробь на ее числитель.
Подсказка 2
Давайте запишем КБШ для дробей для суммы в правой части, уже после преобразования. Какое эквивалентное условию неравенство мы тогда сможем записать?
Подсказка 3
С помощью КБШ мы получили оценку снизу с таким же числителем, как у левой части неравенства из условия, тогда для доказательства изначального уравнения, нам нужно будет лишь сравнить знаменатели, а неравенство эквивалентное условию будет выглядеть следующим образом: 2(a₁² + a₂² + … + aₙ²) ≥ a₁a₂ + a₂a₃ + … aₙa₁ + aₙa₂;
Подсказка 4
Слева в полученном неравенстве мы имеем сумму квадратов n чисел, а справа какие-то пары произведений. Какое классическое неравенство помогает нам «превращать» сумму в произведение?
Подсказка 5
Конечно! Мы можем применить неравенство о средних для среднего арифметического и среднего геометрического, внимательно посмотрите, сколько раз встречается каждое из чисел a₁, a₂, a₃, …, aₙ в сумме произведений и исходят из этого определите, как мы можем применить неравенство о средних.
Домножим каждую дробь на её числитель и применим неравенство КБШ для дробей к правой части:
Покажем, что:
Запишем неравенства о средних, чтобы доказать последнее неравенство:
Если выписать такие неравенства для всех пар, для которых нужно(каждая переменная участвует в четырёх неравенствах) и просуммировать их, то получим требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
