Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Сначала покажем, что при неравенство верно при любом выборе переменных. Для каждого по неравенству Коши-Буняковского-Шварца имеем

который можно переписать как

Суммируя последние неравенства для и прибавляя к обеим частям имеем

Это показывает, что исходное неравенство справедливо для

Теперь достаточно показать, что — наибольшее среди всех возможных значений Рассмотрим последовательность, определенную и для то есть Тогда левая часть исходного неравенства равна

а правая часть равна

Когда стремится к бесконечности, левая часть стремится к а правая — к Следовательно, должно быть не более Следовательно, наибольшее значение равно