Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Первое решение.

По формулам суммы косинусов и синусов уравнение равносильно

По формуле синуса двойного угла это превращается в

Так как и то левая часть уравнения не превосходит 1. А равенство достигается лишь в случае

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки в левой части:

Применим неравенство Коши-Буняковского-Шварца для векторов из чисел:

Получим:

Но левая часть неравенства равна по условию. Значит, в неравенстве КБШ левая и правая части равны для удовлетворяющих условию задачи.

Как известно, равенство в КБШ достигается, когда векторы коллинеарны, то есть для некоторого

Последовательно подставляя, уравнения системы получим:

Откуда либо , тогда что противоречит основному тригонометрическому тождеству

Либо , то есть .

В случае получится система:

Подставим во второе уравнение системы и в четвёртое

Нетрудно проверить, что в таком случае

что не подходит под условие задачи.

В случае получится система:

Которая имеет решения