Тема . Классические неравенства

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98102

Сумма положительных чисел a,  b  и c  равна 3.  Докажите неравенство

---1---  --1---- ---1---  3
a2(b+ 1) + b2(c+1) +c2(a +1) ≥ 2
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева дроби, а справа число, в таких ситуациях хорошо работает неравенство Гельдера. Вот только к каким наборам его применять?

Подсказка 2

Для неравенства Гельдера нужно, чтобы числители возводились в степень на 1 большую, чем степень, в которую возводится знаменатель, поэтому числители нужно записать как 1/x^2. Примените неравенство и решите задачу.

Показать доказательство

В силу неравенства КБШ для дробей, имеем

--1---- ---1---  ---1---  1∕a2  1∕b2  1∕c2
a2(b+ 1) +b2(c+1) + c2(a+ 1) = b+ 1 + c+ 1 + a+ 1 ≥

              2               2
≥ (1∕a+-1∕b+1∕c)-= (1∕a+-1∕b+-1∕c)--
    a+ b+c+ 3           6

следовательно, достаточно показать, что

1∕a+ 1∕b+1∕c≥ 3

Последнее же вновь верно в силу КБШ для дробей или неравенства между средним арифметическим и гармоническим.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!