Тема . Классические неравенства

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98917

Про положительные числа $a,b,c$ известно, что $1+ 1+ 1 =6. a b c$ Докажите неравенство

a2+-b b2-+c- c2+-a 9 a +b + b+ c + c+a ≥ 4

Показать доказательство

Запишем левую часть в следующем виде, и оценим сначала первую сумму, а потом сумму, которую вычиатем.

a2+ 1+ b b2+ 1 +c c2+ 1+ a ( 1 1 1 ) --a+4b--+ --b4+c---+--c+4a--− 4(a+-b) + 4(b+-c)-+4(a+-c)

Числитель этих дробей можно оценить с помощью следующего неравенства $a2+ 14 ≥ a,$ откуда получим такую оценку суммы:

a2-+ 14-+b-+ b2+-14 +-c+ c2+-14 +-a≥ a+-b+ b+-c+ c+-a= 3 a +b b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a

А вычитаемую сумму запишем таким образом:

(1+ 1)2 (1+ 1)2 (1+ 1)2 -4--4--+ -4--4--+ -4--4-- (a+ b) (b+c) (a+ c)

Мы можем оценить каждую из дробей по неравенству КБШ для дробей, откуда получим следующее

(14 +-14)2 (14 +-14)2 (14 +-14)2 ( 142 412) ( 142 412) (412 -142-) 1 ( 1 1 1) 3 (a+ b) + (b+c) + (a+ c) ≤ a + b + b + c + c + a = 8 ⋅ a + b + c = 4

В итоге получаем, что и требовалось доказать

2 2 2 a-+b-+ b+-c+ c-+-a= a+ b b+ c c+a

a2+-14 +-b b2-+ 14-+c c2+-14 +-a ( --1--- --1--- ---1--) 3 9 = a+ b + b+c + c+ a − 4(a+ b) + 4(b+ c) +4(a+ c) ≥ 3− 4 = 4

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse