Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Подсказка 1

Известно, что для работы с дробями удобно применять кбш для дробей, потому что мы избавляемся от суммы дробей. Но здесь стандартным образом его применить не получится, как бы вы не пытались. Оценка получается слишком грубая. Давайте тогда попробуем что-то прибавить и вычесть, может так что-нибудь выйдет. Подумайте, что это может быть.

Подсказка 2

Мы приведем наше неравенство к виду, когда из какой-то суммы вычитаем другую сумму. Следовательно, нужно будет их оценить по отдельности. Но справа у нас стоит 9/4. Легче всего вычитать что-то из 3, так как это ближайшее целое число. Также, видимо, знаменатели должны содержать 4. Что тогда можно прибавить и вычесть?

Подсказка 3

Давайте прибавим и вычтем дроби вида 1/4(a+b). Тогда будут числители вида a²+1/4+b и 1/4(знаменатели везде вида a+b). Попробуем оценить каждую из сумм по отдельности. Как можно оценить числитель первого вида, чтобы в итоге получить сумму 3?

Подсказка 4

Верно, применим неравенство a²+1/4≥a. Тогда вся сумма будет равна трём. Что же делать с другой суммой... Неравенство кбш для дробей нам всё-таки нужно применить. Но как его следует применить?

Подсказка 5

Да, давайте, во-первых, запишем его отдельно для каждой из дробей. А во-вторых, дроби нужно оценивать наоборот в большую сторону, так как мы вычитаем эту сумму. Представим каждую из дробей с числителем (1/4+1/4)² и знаменателями вида a+b. Осталось только применить кбш для дробей и вспомнить про забытое равенство из условия, победа!