Прямая Симсона

Обозначим середину отрезка за и докажем, что точка лежит на прямой Симсона точки относительно треугольника

Пусть Удвоим отметим точку на продолжении прямой за точку так, чтобы Тогда — средняя линия треугольника Отсюда

Продлим высоту до пересечения с окружностью описанной около Пусть По свойству ортоцентра Заметим, что фигура симметрична относительно прямой поэтому

Продлим до пересечения с окружностью Пусть Через точку проведём прямую , параллельную Тогда откуда

Пусть Заметим, что

Так как то

С одной стороны, С другой стороны,

Отсюда то есть Таким образом, — соответственные углы при прямых и секущей откуда По свойству прямой Симсона, то есть Получается, параллельные прямые проходят через одну точку а, значит, эти прямые совпадают, откуда