Прямая Симсона

Пусть точки — это центры окружностей, описанных около треугольников соответственно, а точки — это середины отрезков соответственно.

Проведём серединные перпендикуляры к этим отрезкам. Заметим, что точка пересечения серединных перпендикуляров к и к — это центр описанной окружности треугольника то есть точка Аналогично, точка — это точка пересечения серединных перпендикуляров к и к а точка — это точка пересечения серединных перпендикуляров к и к

Так как и — это середины сторон треугольника то — это средняя линия этого треугольника. Отсюда Аналогично, — это средняя линия треугольника откуда то есть Поскольку через точку может проходить единственная прямая, параллельная то точки лежат на одной прямой.

Получается, основания перпендикуляров, опущенных из точки на прямые лежат на одной прямой, а, значит, точка лежит на окружности, описанной около треугольника по обратному утверждению о прямой Симсона.