Прямая Симсона

Обозначим через окружность и через — её диаметр. Поскольку то

Из условия следует, что лучи и пересекаются в некоторой точке под прямым углом. Проведем диаметр в окружности Поскольку точки идут на окружности в порядке Тогда

Следовательно, треугольники и подобны по двум углам, поэтому

Полученное равенство означает, что прямоугольные треугольники и подобны по отношению катетов. Тогда поэтому точка лежит на окружности Заметим, что — прямая Симcона точки для треугольника поскольку Тогда и проекция на прямую тоже лежит на то есть

Рассуждая аналогично, мы получаем, что точка диаметрально противоположная на окружности лежит на окружности а также Таким образом, — хорда окружности а и — проекции точек и на прямую поэтому что и требовалось.

Замечание 1. Приведём схему другого решения.

Нетрудно показать, что (например, используя Теорему Менелая). Пусть — середины (и ), (и ), (и ) соответственно. Пусть Из прямоугольного треугольника имеем Далее, — серединный треугольник для треугольника Легкий счет углов (с использованием медианы прямоугольного треугольника) дает

Значит, точки лежат на одной окружности, тогда — хорда окружности (). Отсюда

что завершает решение.

Замечание 2. На самом деле — диаметр окружности (), что нетрудно установить счётом углов, но для решения этого не требуется. Равенство достигается в том и только в том случае, когда исходный четырёхугольник — вписанный.

Замечание 3. Приведём план ещё одного подхода к задаче. Используем обозначения из приведённого выше решения, а также введём новые: Из теорем Менелая для и прямой и прямой находим:

По теореме синусов для треугольника в силу сказанного выше

Таким образом, достаточно доказать, что Из теорем Менелая для и прямой и прямой легко видеть, что

отсюда

Обозначим

тогда Значит,

последнее равенство получается из прямоугольных треугольников и Остаётся заметить, что

по неравенству Коши-Буняковского-Шварца, получаем в точности требуемое неравенство ().