Прямая Симсона
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
– центр его описанной окружности. Проекции точек 
и 
на стороны треугольника лежат на прямых 
и
причём 
Докажите, что прямая 
образует равные углы с прямыми 
и 
Источники:
Из условия следует, что точки 
и 
лежат на описанной окружности треугольника 
а прямые 
и 
являются их прямыми
Симсона. Проведём хорды 
и 
параллельные 
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма. Хорда 
описанной окружности треугольника 
перпендикулярна стороне 
В таком случае прямая Симсона точки
относительно треугольника 
параллельна прямой 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство. Пусть не умаляя общности точка 
находится на меньшой дуге 
Тогда 
пересекает 
в точке 
Так
же опустим перпендикуляр 
на 
Тогда у нас 
вписанный. В таком случае есть две пары антипараллельных прямых
относительно 
и 
Это будут 
и 
и 
Отсюда следует, что 
и 
параллельны, где 
и есть прямая
Симсона.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
В таком случае из леммы следует, что прямая 
а значит, и радиус 
перпендикулярны 
а 
Так как 
лежит на
серединном перпендикуляре к хорде 
из первого условия следует, что 
равнобедренный треугольник. Отсюда, дуги 
и
равны.
Условие задачи эквивалентно тому, что прямая 
образует равные углы с прямыми 
и 
Угол между 
и 
равен
углу между 
и 
то есть половине дуги 
Угол между 
и 
равен половине дуги 
Осталось проверить
равенство дуг 
и 
Но 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
