Упорядочивание

Пункт а), подсказка 1

Нам надо доказать, что сумма отмеченных не меньше суммы чисел в какой-то строке. Можно оценить эти две суммы, найдя минимум одной и максимум другой.

Пункт а), подсказка 2

Как бы найти минимальное значение суммы отмеченных чисел? Каким вообще может быть наибольшее из отмеченных? Оно ведь больше всех отмеченных, а отмеченные - вторые по величине в своих строках.

Пункт а), подсказка 3

Получается, оно не меньше 9 чисел в своей строке, а ещё и не меньше 9 чисел в каждой из других строк, тогда это число ≥90! Давайте обозначим его за а₁₀. Остальные отмеченные можно не оценивать, а попробовать найти строку, где сумма чисел будет поменьше. Если наши отмеченные - вторые по величине в своих строках, то в строке с каким из отмеченных числа в среднем будут меньше?

Пункт а), подсказка 4

Конечно, это строка с наименьшим из отмеченных! Какая максимальная сумма чисел может быть в этой строке? Выразите её через а₁ - наименьшее отмеченное! Будет ли сумма отмеченных больше неё?

Пункт а), подсказка 5

Конечно будет, достаточно лишь вспомнить, что а₁₀ ≥ 90, а все остальные отмеченные ≥ a₁ и вы сразу увидите справедливость неравенства.

Пункт б), подсказка 1

Помните решение пункта а? Там мы возились с наибольшим и наименьшим из отмеченных чисел, здесь будем делать что-то похожее, но надо будет покруче оценивать суммы. Раз уж все числа различные, давайте отмеченные сразу упорядочим: а₁ < a₂ < … < a₁₀. И так же оценим наибольшие из отмеченных и сумму чисел в строке.

Пункт б), подсказка 2

а₁₀ и а₉ оцениваем просто из того, скольких чисел они точно больше. И строку берём такую же, как в пункте а)

Пункт б), подсказка 3

Но если вы всё сделаете прям так же, то у вас может не получиться доказать неравенство. Тогда просто воспользуйтесь тем, что у нас различные натуральные числа и переделайте строгие неравенства в нестрогие

Пункт б), подсказка 4

То есть а₂ > a₁ ⇒ a₂ ≥ a₁ + 1; a₃ ≥ a₂ + 1 ≥ a₁ + 2 и т.д. Теперь всё должно получиться!