Упорядочивание
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Бумажный квадрат со стороной 
разрезали 
вертикальными и 
горизонтальными прямыми, получив таким образом 
прямоугольников (необязательно с целыми сторонами). У какого наименьшего количества прямоугольников площадь может оказаться
меньшей или равной 
Источники:
Подсказка 1
Такс... сперва давайте обозначим как-то длины отрезков, на которые разбиты стороны. Например, пусть одна сторона разбита на отрезки a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₁₀₀, а другая на отрезки b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b₁₀₀. На какую оценку намекает формула площади прямоугольника и сумма длин отрезков?)
Подсказка 2
Конечно! Т.к. площадь прямоугольника это ab, то можно воспользоваться неравенством о средних. Как это сделать?
Подсказка 3
Давайте рассмотрим числа √a₁*√b₁₀₀, √a₂* √b₉₉, ..., √a₁₀₀*√b₁. По неравенству о средних √a*√b ≤ (a+b)/2. Как тогда можно оценить сумму этих чисел?
Подсказка 4
Да! Их сумма не превосходит половины суммы всех aᵢ и bᵢ, т.е. не превосходит 100. О чем это говорит?
Подсказка 5
Верно! Тогда можно сказать, что найдётся такой номер j, что aⱼb₁₀₀ -ⱼ≤ 1. Теперь осталось рассмотреть индексы, меньше j для a и 100 - j для b и показать, что таких пар ≥100. Не забудем построить пример!!!
Пример.
Одну из сторон разобьём на 
отрезков длины 
а другую — на 
отрезков длины 
и оставшийся отрезок длины 
. Тогда
только 
прямоугольников с узкой стороной длины 
имеют площадь меньше 
Оценка.
Первый способ
Пусть одна из сторон разбита на отрезки длины 
а другая — на отрезки 
Рассмотрим числа
, 
В силу неравенства 
сумма всех этих чисел не превосходит половины суммы всех 
и
т.е. не превосходит 
Поэтому найдётся такой номер 
что 
Но тогда и для всех пар 
при
тоже выполнено неравенство 
причём количество таких пар равно 
Это значит, что все
прямоугольники со сторонами 
и 
имеют площадь не больше 
и число этих прямоугольников не меньше 
Второй способ
Пусть одна из сторон разбита на отрезки длины 
а другая — на отрезки 
Для удобства будем
считать, что отрезки занумерованы остатками от деления на 
Возьмём произвольное 
от 
до 
и рассмотрим
выражение
По неравенству Коши-Буняковского-Шварца оно не превосходит
Следовательно, 
и значит, одно из его слагаемых не превосходит 
Стало быть,
мы доказали существование прямоугольника малой площади, у которого номера сторон различаются ровно на 
А поскольку 
может
быть любым числом от 
до 
существует не менее 
таких прямоугольников.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
