Упорядочивание

Расположим длины частей, на которые разбили отрезок длины в порядке невозрастания где — длины.

Для проверки условия, что среди трех отрезков длинами сумма любых двух больше длины третьего достаточно проверить, что (остальные неравенства выполняются по очевидным причинам).

Рассмотрим тройки отрезков Либо найдется тройка, для которой выполнено неравенство треугольника, и задача решена, либо ни для одной из них не выполнено это условие. Тогда имеем

Сложим все неравенства и получим, что Преобразуем и получим

Откуда Но сумма всех отрезков это Значит, При этом потому что это длина кусочка от отрезка длины И тогда можно взять тройку отрезков для которой выполнены неравенства

Значит, всегда можно выбрать какие-то из отрезков, чтобы сумма длин любых двух выбранных отрезков была больше длины третьего.