Расположение точек, отрезков и прямых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости отмечены вершины и центр правильного 
-угольника. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в отмеченных
точках?
Замечание. Четырёхугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой несамопересекающейся четырёхзвенной ломаной.
Источники:
Подсказка 1
Для упрощения подсчёта попробуйте понять, какой вид мог иметь четырёхугольники и отдельно подсчитать четырёхугольники каждого вида.
Подсказка 2
Так, ну очевидно, что нам подойдёт четырёхугольник, вершины которого являются вершинами 100-угольника. Также подойдёт выпуклый четырехугольник, одна из вершин которого — центр. Какой ещё вид возможен?
Подсказка 3:
Третий вид — такие тройки точек, что центр находится внутри треугольника, образованного ими. Каждая такая тройка образует 3 четырёхугольника.
Подсказка 4:
Для подсчёта четырёхугольников второго вида попробуйте понять, как задаются такие тройки точек. Также попробуйте посчитать суммарное количество четырёхугольников второго и третьего вида.
Заметим, что ответ — это 
где 
— количество четвёрок вершин 
угольника, 
— это количество троек вершин
угольника, которые вместе с центром образуют выпуклый четырёхугольник, а 
— количество троек вершин 
угольника, для
которых центр лежит строго внутри образованного ими треугольника (тогда через них и центр можно провести 3 невыпуклых
четырёхугольника).
Ясно, что 
и 
где 
— количество способов выбрать пару противоположных вершин
-угольника и ещё одну вершину (такие способы порождают треугольник, а не четырёхугольник).
Наконец, 
так как любая такая тройка однозначно задаётся вершиной, несоседней с центром 
-угольника (на рисунке
), а также расстояниями от этой вершины до двух других.
Итого 
способов.
вариантов
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
