Расположение точек, отрезков и прямых

Покрасим прямую в два цвета: с одной стороны в красный, с другой в синий. Соответствующие полуплоскости будем именовать аналогично. При вращении сохраняется число точек в синей полуплоскости и число точек в красной полуплоскости (за исключением моментов, когда прямая проходит через две точки). Это происходит, так как когда мельница “натыкается” на некую точку допустим, из красной полуплоскости, вращаясь вокруг точки то через малое время вращения вокруг точка попадёт в красную полуплоскость.

Заметим, что для каждой точки существует направление прямой, такое, что при нём точки распределены по полуплоскостям почти равномерно: если то в обеих полуплоскостях по точек; если то в одной во второй Пусть для произвольного направления в красной и синей полуплоскостях и точек соответственно. Начнём вращать прямую обычным образом (не переходя на другие точки опоры), допустим, в красном направлении. Тогда при прохождении через точку число точек в одной из полуплоскостей уменьшается на в другой увеличивается на Поскольку при повороте на полуплоскости меняются местами (в синей будет точек, а в красной ), то в силу дискретной непрерывности найдётся искомое направление, в котором точки будут распределены по полуплоскостям почти равномерно.

Также отметим, что для разных точек эти направления различны, так как при параллельном переносе прямой меняются инварианты числа точек в синей и красной полуплоскостях, а при вращении мельницей они сохраняются. Поскольку каждое направление принимается бесконечное число раз, то каждая точка бесконечное число раз будет опорной, что и требовалось доказать.