Расположение точек, отрезков и прямых
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На тетрадном листе нарисован квадрат 8 × 8 клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.
Источники:
Подсказка 1
Подумайте, какие узлы можно покрасить в белый цвет.
Подсказка 2
Временно зафиксируйте квадрат и попробуйте подумать о симметрии.
Подсказка 3
Можно покрасить в белый либо 2 узла, симметричных относительно центра квадрата, либо несимметричных. Теперь подумайте про повороты.
Подсказка 4
Например, раскраски, получаемые поворотом на 180°, совпадут с исходными. Будут ли повторы во 2 случае?
Подсказка 5
Нет, каждой раскраске будут соответствовать 3 других, получаемые поворотами данной. Чему равно количество раскрасок в первом случае?
Подсказка 6
Нам достаточно выбрать лишь один узел, не являющийся центральным, тогда симметричный ему определен однозначно. Получим (81 - 1)/2 раскрасок. Во втором случае надо выбрать все раскраски, не относящиеся к первому случаю.
Зафиксируем положение квадрата (временно запретим повороты) и перекрасим два его узла. Возможны два случая:
- 1.
-
В белый цвет покрашены два узла, симметричных относительно центра квадрата.
- 2.
-
В белый цвет покрашены два узла, не симметричных относительно центра.
В первом случае раскраска переходит сама в себя при повороте на 
но не на 
то есть все такие раскраски разбиваются на пары
считающихся одинаковыми.
Во втором же случае совмещение с самой собой при поворотах на 
и 
не происходит, поэтому любая такая раскраска
совмещается с четырьмя другими раскрасками, а всё множество раскрасок во втором случае разбивается на четвёрки считающихся
одинаковыми.
В первом случае количество раскрасок равно 
поскольку достаточно выбрать лишь один узел, не являющийся центральным, и
тогда симметричный ему узел определён однозначно. Во втором случае можно брать любые из 
пар узлов, кроме относящихся к
первому случаю, то есть
В итоге получаем, что количество раскрасок равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
