Расположение точек, отрезков и прямых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости отмечено 9 различных точек, среди которых есть красные, синие и зеленые. Точек других цветов нет. Известно, что сумма всех попарных расстояний между красными и синими точками равна 13, между красными и зелеными равна 11, а между синими и зелеными равна 1. Каким может быть количество красных отмеченных точек?
Источники:
Подсказка 1
Пупупу…давайте подумаем, а что можно сказать про тройку из трех точек различных цветов?
Подсказка 2
Верно, для каждой такой тройки выполняется неравенство треугольника!(убедитесь, что если точки лежат на одной прямой, то это неравенство тоже выполняется) Так, но это условие мы получили только для одной конкретной тройки точек, а можно ли получить что-то про все точки сразу?
Подсказка 3
Да, можно сказать, что сумма всех расстояний между красными и синими точками не больше чем сумма суммы расстояний между красными и зелеными точками и суммы расстояний между синими и зелеными! А как это записать математически?
Подсказка 4
Конечно, иными словами: 13r ≤ 11q + p, где r- количество красных точек, q – синих точек, p – зеленых точек! Аналогично можно сказать, что 11q ≤ 13r+p(опять же в силу неравенства треугольника) А также не забываем про условие, что p+q+r=9. Осталось найти возможные значения p, q, r и привести пример, что каждый случай достигается!
Пусть отмечены красные точки 
, синие точки 
, и зеленые точки 
.
Поскольку для каждой точки 
выполняется неравенство треугольника 
, то
Откуда 
.
Аналогично, просуммировав неравенства 
, получим 
.
Далее перебором можно установить, что найденным соотношениям и равенству 
удовлетворяют ровно две тройки
натуральных чисел
Покажем, что оба найденных варианта могут быть реализованы на прямой. Каждую из отмеченных точек будем задавать ее координатой.
Первый вариант: 
Второй вариант: 
.
5 или 7
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
