Расположение точек, отрезков и прямых

Начнем перемещать синюю точку по прямой, не содержащей красные точки. Остановимся тогда, когда она пересечет первый отрезок с концами в красных точках, но еще не дойдет до второго. Если такого момента времени не существует, значит синяя точка не лежит ни в одном красном треугольнике (любая прямая, проведенная через синюю точку, пересекла бы его стороны), и утверждение задачи очевидно. Назовем вершины пересеченного отрезка и

Сравним количество треугольников, содержащих синюю точку в исходном ее положении и после перемещения. Ясно что любой треугольник, не содержащий сторону либо содержал синюю точку оба раза, либо не содержал, так как синяя точка не пересекла на своем пути ни одну из его сторон. Рассмотрим полуплоскость относительно в которой изначально располагалась синяя точка. Утверждается, что треугольник со стороной и третьей вершиной в любой красной точке этой полуплоскости содержал синюю точку в ее исходном положении. Действительно, в противном случае отрезок, соединяющий исходное положение синей точки и точку, в которой траектория ее движения пересекает пересекает и некоторую сторону этого треугольника. Ясно, что никакой треугольник со стороной и вершиной в другой полуплоскости не содержит исходное положение синей точки. Теперь рассмотрим другую полуплоскость относительно  – в которой располагается синяя точка в момент остановки. Аналогично, треугольник со стороной и любой вершиной этой полуплоскости содержит синюю точку после перемещения.

Если в полуплоскости, в которой изначально находилась синяя точка, красных вершин, то ясно, что в другой полуплоскости их а количество треугольников, содержащих синюю точку, при описанном перемещении изменилось на Так как это число четное, мы доказали, что описанная операция не меняет четности количества треугольников, содержащих синюю точку. Будем повторять эту операцию до тех пор, пока синяя точка не выйдет за пределы выпуклой оболочки множества красных точек. Ясно, что когда этот момент наступит, не будет существовать ни одного красного треугольника, содержащего синюю точку, то есть в конце четное количество треугольников с вершинами в красных точках содержит синюю. Значит, изначально количество таких треугольников тоже было четным.