Расположение точек, отрезков и прямых

Покажем стратегию игры за первого. Выберем прямую и каждым шагом будем красить одну из точек прямой в красный, если не существует не отмеченной цветом точки плоскости, которая образует правильный треугольник с красными вершинами, иначе покрасим в красный.

Пусть — количество точек, закрашенных синим после ходов второго игрока, тогда Пусть — количество не закрашенных точек плоскости, которые образуют правильный треугольник с двумя красными точками плоскости после ходов первого игрока. Поскольку все красные точки лежат на одной прямой, не существует точки плоскости, которая образовывала бы правильный треугольник сразу с двумя различными парами красных точек на плоскости, следовательно, каждой паре красных точек соответствует ровно две точки, которые образуют с этой парой правильный треугольник. Таким образом, ведь равно удвоенному количеству пар, которые образуют отмеченных красных точек. Таким образом, при достаточно больших верно, что

то есть существует ход, после которого количество точек, гарантирующих победу первому игроку будет больше, чем количество всех синих точек на плоскости.