Расположение точек, отрезков и прямых

Подсказка 1

Давайте будем следить за количеством S(n) точек неотмеченных точек плоскости на доске после n ходов, закрасив красным которые, на плоскости образуется правильный треугольник с вершинами в красных точках. Какое условие на функцию S(n) могло бы быть достаточным, чтобы доказать, что первый игрок имеет победную стратегию?

Подсказка 2

Пусть T(n) — количество синих точек на плоскости после хода n. Тогда достаточно показать, что T(n) < S(n) при некотором n. Как это можно сделать?

Подсказка 3

Можно явно найти вид функций T(n) и S(n). Например, T(n)=100n, потому каждый ход второго игрока добавляет 100 точек на плоскости. Предъявите стратегию за первого игрока и найдите S(n) для данной стратегии.

Подсказка 4

Покажем стратегию игры за первого. Выберем прямую и каждым шагом будем красить одну из точек прямой в красный, если не существует не отмеченной цветом точки X плоскости, которая образует правильный треугольник с красными вершинами, иначе покрасим X в красный. Как найти S(n) для данной стратегии?

Подсказка 5

Покажем стратегию игры за первого. Выберем прямую и каждым шагом будем красить одну из точек прямой в красный, если не существует не отмеченной цветом точки X плоскости, которая образует правильный треугольник с красными вершинами, иначе покрасим X в красный. Как найти S(n) для данной стратегии?

Подсказка 6

Для каждых двух красных точек на прямой найдется ровно 2 уникальные точки плоскости, закрасив которые мы получим равносторонний треугольник. Тогда S(n) равно удвоенному количеству пар n точек, то есть n(n+1). Осталось показать, что T(n)=100n<S(n)=n(n+1) при достаточно больших значениях n.