Конструктивы в комбигео

Пусть среди сфер есть красных и зелёных. Так как у любых двух сфер максимум одна точка касания, количество синих точек не превосходит

Предъявим пример с таким количеством синих точек. Пусть — некоторая прямая, — плоскость, перпендикулярная и пересекающая её в точке а — окружность с центром и радиусом лежащая в Построим красных сфер одинакового радиуса с различными центрами лежащими на

Пусть — различные точки на удалённые от на расстояния Тогда расстояние между и любой точкой равно Значит, если мы построим зелёную сферу с центром и радиусом она будет касаться всех красных сфер. При этом все точки касания будут попарно различными, поскольку они лежат на отрезках вида которые не имеют общих точек, кроме концов. Значит, в нашей конструкции действительно будут отмечены синих точек.

Замечание. Все красные сферы в этом примере получаются друг из друга вращением вокруг прямой Поэтому, если зелёная сфера, центр которой лежит на касается одной красной сферы, то она касается и всех красных сфер.