Конструктивы в комбигео

Выберем прямоугольный треугольник, катеты, которого параллельны координатным осям, при этом катет, параллельный оси направлен в противоположную сторону от нее (вектора катетов выходят из вершины прямого угла). Найдем треугольник, гомотетичный данному, подходящий под условие.

Предположим, что треугольника, гомотетичного данному, удовлетворяющего условию задачи, нет. Рассмотрим кадрат Всего существует вариантов его раскраски. Тогда выберем произвольную прямую, параллельную оси и рассмотрим квадратов у которых одна из сторон на этой прямой. Очевидно, найдутся два квадрата, раскрашенных одинаково.

На нижней стороне квадратов найдутся две точки, раскрашенные одинаково (пусть красные), находящиеся в квадратах на одном расстоянии. В этих же квадратах можно выделить равнобедренные прямоугольные треугольники с катетом — отрезком между красными точками. Верхние вершины этих треугольников одного цвета (пусть синего). Продлим гипотенузу одного и катет другого треугольника так, чтобы получился новый равнобедренный треугольник. Верхняя вершина нового большого прямоугольного треугольника должна быть зеленой (она вершина равнобедренных треугольников, у которых катеты с красными и с синими вершинами).

Теперь остается продублировать всю эту конструкцию еще раз. Для этого рассмотрим квадрат со стороной Рассмотрим таких квадратов. Два таких квадрата будут раскрашены одинаково. В первом квадрате на нижней стороне найдутся два квадрата раскрашенных одинаково, тогда и во втором большом квадрате найдутся два таких же квадрата. Таким образом, конструкция, описанная выше, может быть найдена в обоих квадратах, то есть мы нашли в каждом квадрате прямоугольные треугольники, гомотетичные данному, у которых на нижнем катете красные вершины, при этом на его сторонах параллельно оси найдутся синие вершины, а последние вершины этих прямоугольных треугольников зеленые. При этом внутри больших квадратов все расстояния между описанными точками одинаковы. Рассмотрим найденные большие прямоугольные треугольники и продлим гипотенузу одного и катет второго до пересечения так, чтобы образовался новый прямоугольный треугольник, один из катетов которого содержит стороны двух рассматриваемых. Тогда одна из вершин этого треугольника не может быть раскрашена ни в один цвет. Противоречие.