Принцип крайнего, индукция и другие методы в комбигео

Предположим противное. Рассмотрим максимальное количество точек таких, что никакие из них не лежат на одной окружности. Их не более Каждая из оставшихся точек лежит на описанной окружности одного из треугольников, образованных этими точками. Таких треугольников всего не более Значит, все наши точки лежат не более чем на окружностях. Рассмотрим ту из них, на которой лежит наибольшее количество точек (их не менее и не более по нашему предположению). Оставшиеся хотя бы точек лежат на окружностях, так что на одной из этих окружностей (назовем ее ) лежит еще хотя бы точек. Докажем, что все наши точки лежат на окружностях и Предположим противное. Рассмотрим точку вне окружностей и Выберем на окружности точки не лежащие на Каждая из окружностей, описанных около треугольников пересекает окружность не более чем в двух точках. Выкинем не более чем точек, а также не более чем две точки пересечения и из рассмотрения (если какие-то из них отмечены). На окружности останется не менее отмеченных точек. Выберем одну из них, Описанные окружности треугольников и вторично пересекают не более чем в одной точке каждая. Выкинем из рассмотрения эти точки (если какие-то из них отмечены), на окружности останется не менее отмеченных точек. Выберем одну из них, и выкинем с окружности еще не более чем 6 точек, лежащих на описанных окружностях треугольников и На останется хотя бы точек, назовем любую из них Легко видеть, что из точек никакие не лежат на одной окружности. Противоречие. Итак, все отмеченные точки лежат на двух окружностях, следовательно, на одной из окружностей лежит не менее точек.