Принцип крайнего, индукция и другие методы в комбигео
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан остроугольный треугольник 
Пусть точки 
— центры квадратов, построенных на сторонах 
С треугольником 
делаем то же самое. Получаем треугольник 
и т.д. Доказать, что 
пересекает 
ровно в 6 точках.
Подсказка 1
Мы знаем, что первый треугольник остроугольный. Если бы мы знали, что каждый новый треугольник является остроугольным, получилось бы решить задачу?
Подсказка 2
Предположим, что мы знаем, что все треугольники остроугольные. Рассмотрим (n-1)-ый и n-ый треугольники и шестиугольник, образованный их вершинами. Можно ли доказать, что он выпуклый?
Подсказка 3
Конечно! Стороны этого шестиугольника являются биссектрисами квадратов, построенных на сторонах (n-1)-го треугольника, тогда диагонали этого шестиугольника лежат внутри его углов. Тогда задача решена. А как доказать, что все треугольники остроугольные?
Подсказка 4
Конечно, надо действовать по индукции! Ранее мы использовали только остроугольность (n-1)-го треугольника. Можно ли теперь вновь использовать утверждение, которое мы уже доказали?
Подсказка 5
Можно! Мы уже знаем, что из n-го и (n-1)-го треугольника легко появляется выпуклый шестиугольник. Как из этого получить нужное утверждение?
Докажем, что если 
остроугольный, то 
пересекает его в шести точках. Заметим, что
Тогда лучи 
и 
лежат внутри угла 
Аналогичное утверждение
верно для вершин 
и 
Таким образом, 
— выпуклый шестиугольник. Тогда, действительно,
и 
пересекаются в 
точках.
Докажем теперь, что 
— остроугольный треугольник. Доказательство проведем по индукции. База верна по условию. Пусть
— остроугольный. Тогда у нас уже есть доказанное утверждение о том, что 
— выпуклый
шестиугольник. Тогда 
Таким образом, 
— острый. Аналогично для остальных углов
треугольника 
Тогда, действительно, треугольник 
остроугольный.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
