Принцип крайнего, индукция и другие методы в комбигео

Заметим, что если точка , то так как , то у уравнения есть решение. Среди этих решений выберем то, где минимальное неотрицательное. Тогда , так как если решение, то и решение. Значит, , поэтому зеленая. Значит, с некоторого момента все числа зеленые. С другой стороны, все числа меньше 0 фиолетовые, а 0 зеленый. Пусть такое число, что все числа большие зеленые, а фиолетовое.

Докажем, что . Для всех больших мы уже доказали, что они зеленые, осталось доказать, что фиолетовое. Заметим, что все решения выглядят, как , а . Чтобы был неотрицательным нужно , а для нужно ?!

Тогда докажем, что необходимая точка это . Пусть есть 2 зеленых числа, которые симметричны относительно . Тогда их сумма тоже представляется, как , а она равна .

Пусть есть 2 фиолетовых числа и , которые симметричны относительно . Представим их как и из всех вариантов выберем те, где минимальный неотрицательный. Тогда , и . Так как числа были фиолетовыми, то . Значит, и , а . Заметим, что и значит, . С другой стороны, и поэтому . Противоречие.