Симметричные стратегии

Докажем, что Маша может выиграть независимо от действий Паши. Пусть она своим первым ходом соединит отрезком любые две противоположные вершины -угольника, проведя диагональ Заметим, что теперь ни один из игроков не может проводить диагонали, симметричные сами себе относительно этого отрезка (такая диагональ перпендикулярна первой проведенной). Пусть далее Маша будет делать ходы, симметричные ходам Паши относительно первой проведенной диагонали. Докажем, что такой ход возможен.

Рассмотрим произвольный момент, когда Паша будет делать очередной ход, проведя диагональ До этого момента была проведена диагональ для некоторого целого Тогда очередная Пашина диагональ должна пересечь хотя бы ранее проведенную. Следовательно, Машина симметричная диагональ также пересечет хотя бы ранее проведенную диагональ. При этом диагональ может быть перпендикулярна только диагонали проведенной Пашей ходом ранее. Значит, у нас образовались две перпендикулярные диагонали, симметричные относительно диагонали Тогда длины этих диагоналей равны. То есть они отличаются друг от друга поворотом на угол для некоторого целого откуда что невозможно, так как не делится на