Симметричные стратегии

Приведем за Тора стратегию, позволяющую ему победить. Первым ходом поставим ладью в центральную клетку доски, а дальше будем ходить симметрично относительно этой клетки. Покажем, почему у Тора всегда есть ход согласно этой стратегии.

Пусть до некоторого момента Тор мог ходить симметрично. Тогда перед ходом Локи картинка была симметрична относительно центральной клетки. Если Тор смог поставить ладью, то это значит, что и симметричная клетка до хода Локи была свободна и непобита ладьей. Осталось заметить, что ладья не может бить ладью, симметричную себе относительно центра, если она не стоит в центральном столбце или центральной строке. Значит, Тор сможет всегда сходить согласно своей стратегии.

Заметим при этом, что игра закончится не позже, чем через ход, то есть когда все клетки будут заняты. Это значит, что кто-то все-таки проиграет. Мы доказали, что это не Тор, значит, проиграет Локи.

Обратите еще раз внимание на последний абзац. На самом деле мы чаще всего доказываем, что согласно стратегии у игрока, за которого мы играем, всегда будет ход. Это означает, что он не проиграет. Чтобы доказать, что он все-таки выиграет, нужно еще объяснять, почему игра закончится.