Симметричные стратегии

Давайте подумаем, в какой момент игрок может своим ходом забрать шашку? Самую нижнюю шашку может забрать любой игрок (если первый не заберет ее первым ходом), а остальные только тогда, когда соперник передвинул ее с предпоследней горизонтали на последнюю. Посчитаем, сколько ходов нужно каждой шашке (кроме самой нужней), чтобы оказаться на предпоследней горизонтали. Самой верхней нужно 4 хода, следующей — 3, дальше — 2 и 1. То есть всего ходов до такой “решающей горизонтали”.

Попробуем поиграть за первого игрока. Первым ходом заберем самую нижнюю шашку. Каждым своим ходом будем забирать шашку, если это возможно, или использовать один из 10 выше посчитанных ходов (именно до предпоследней горизонтали). Если забыть про первый ход первого, то в дальнейшей игре мы будем ходить вторыми. То есть, если соперник не опускает шашки ниже предпоследней диагонали, то эти 10 “безопасных” ходов закончим именно мы. Сопернику придется сдвигать фишки на последнюю горизонталь, откуда мы сразу будем их забирать, то есть обязательно победим. Если же второй опустит какую-то шашку раньше истечения всех 10 “безопасных” ходов, то мы просто заберем ее следующим ходом, и четность оставшихся “безопасных” ходов не изменится (то есть их закончим всегда именно мы). Тем самым мы даже не оставляем возможность второму игроку забрать хотя бы одну фишку (опускает все фишки на нижнюю горизонталь только второй).

По факту стратегия первого выглядит следующим образом: как только можно забрать фишку — забирает, передвигать фишку на нижнюю горизонталь нельзя. Такая стратегия работает именно в силу четности (четности количества “безопасных” ходов), что мы и объяснили выше.