Симметричные стратегии

Заметим, что все кучки в любой момент времени содержат количество камешков равное некоторой степени двойки, так как каждая кучка получается несколькими объединениями (умножениями на два) кучек из 1 камня. Посмотрим на ситуацию, когда кто-то из игроков проигрывает, то есть когда нельзя уже сделать ход. В этот момент 2020 разбилось на несколько различных слагаемых — степеней двоек. Из двоичной системы счисления мы знаем, что любое число единственным образом представляется в виде суммы степеней двоек. Для 2020 это разложение — . То есть в конце всегда остаются эти 7 кучек. Теперь заметим, что за каждый ход количество кучек уменьшается на 1 (две кучки объединяются в одну), то есть из 2020 получится 7 ровно через ходов. Тогда последний ход сделает именно первый, он и победит.