Симметричные стратегии

Разобьем крестики и нолики на пары (объединим в пары рядом стоящие крестики и нолики). Тогда если сходивший поменял крестик и нолик из разных пар местами, то мы поменяем парные к ним крестик и нолик местами.

Важно, что пары при этом у нас сохранятся, поэтому любая пара либо не менялась вообще, либо в ней поменялись и крестик и нолик, поэтому ход у нас будет. Если же внутри пары меняют крестик и нолик, то мы возьмем другую пару и поменяем в ней крестик и нолик. Но вот осталась ли у нас пара или нет уже зависит от . Если четно, то описанной стратегией мы будем играть за второго, так как тогда после хода второго оставшихся пар всегда будет четно, а значит у второго всегда будет ход. Если нечетно, то этой же стратегией играем за первого игрока, только первым ходом меняем крестик и нолик из одной пары, тогда пар останется четно, а дальше после хода первого пар всегда будет четно и у первого всегда будет ход.

Осталось понять, почему у нас не образовалось три крестика или три нолика подряд при такой стратегии (при любом ). Тут надо заметить, что мы ходим так, что пары крестик и нолик остаются в своих же парах (после хода того, за которого мы играем), но если бы у нас образовались три крестика или три нолика подряд, это бы означало, что нашлась бы пара, в которой два крестика или два нолика, но такого быть не могло. Таким образом, стратегия работает.