Цена игры

Всего 6 четных коробок и 5 нечетных.

Приведем стратегию за Петю, при которой мы откроем не больше трех коробок (то есть заплатим не больше 3-х рублей). Пусть Петя первым ходом откроет нечетную коробку и возьмет оттуда карандаш. После его хода останется четное количество карандашей, которые можно взять без открывания новой коробки.

Следующими ходами, пока Вася не откроет нечетную коробку, будем брать карандаш из открытых. Мы можем так делать, так как после хода Васи (если он не открывает нечетную коробку) всегда остается нечетное число карандашей, то есть хотя бы 1.

Когда Вася откроет нечетную коробку, следующим своим ходом откроем тоже нечетную коробку. Теперь наш инвариант про нечетное число карандашей после хода Васи снова верен и сохраняется, пока Вася не откроет еще одну нечетную коробку. После этого откроем последнюю нечетную коробку. Инвариант продолжает быть верным.

Тем самым за всю игру мы открыли ровно 3 коробки.

Осталось показать, что у Васи есть стратегия, в которой Вася откроет не более 8 коробок.

Если Петя своим ходом открыл нечетную коробку, то следующим своим ходом Вася открывает тоже нечетную коробку (если есть еще закрытые нечетные), иначе просто берем какой-то карандаш или открываем четную коробку. Мы всегда можем взять карандаш (если Петя не открыл нечетную коробку), так как своей стратегией добиваемся того, чтобы после хода Васи всегда было четное число карандашей — этот инвариант сохраняется на каждом шаге. Таким образом Вася откроет нечетных коробок не больше чем Петя. Следовательно, Петя в процессе игры откроет хотя бы 3 нечетные коробки.

Доказали, что победитель гарантированно выиграет рублей.