Цена игры

Играя за Сашу, поделим всю доску на квадратики затем введём шахматную раскраску на них. “Чёрные” квадратики будем красить “вертикально”, то есть на ход Пети закрашивать вторую клетку из вертикальной доминошки, в которую он попал. В “белых” будем действовать аналогично “горизонтально”. В итоге все квадратики будут иметь один из видов (заменим красный и синий цвета на крестики и нолики)

При этом первые два не могут быть рядом (будем звать их горизонтальными), как и (вертикальные), а можно получить в любом квадратике (диагональные). Нетрудно видеть, что при таких условиях из них можно сложить “полосу” не длиннее четырёх крестиков (ширины ). Для этого нужно взять горизонтальный, а затем добавить по бокам вертикальный и диагональный, либо наоборот. Если же рассматривать полосу ширины два, то она не может иметь длину больше двух. Действительно, либо она идёт прямо по квадратику и имеет длину не более одного, либо идёт между квадратиками, тогда хотя бы один из них не является вертикальным (считаем, что полоса ориентирована вертикально), откуда даже её общая часть с ними имеет длину не более единицы. В итоге максимальная длина такой полосы, если она находится на пересечении квадратиков, будет равна площадь — Полоса длины три или четыре (а шире их не бывает) имеет длину не более единицы, поскольку иначе бы существовал квадратик полностью из крестиков либо два горизонтальных/вертикальных были бы рядом. В результате такая стратегия приводит к максимальному выигрышу для Коли.

Чтобы добиться этого выигрыша, Коле нужно покрасить фигуру ниже (можно убедиться, что так сделать можно всегда, если Саша хочет избежать фигуры площади )

Где нолики стоят там, где они должны быть, чтобы фигура площади не получилась уже на следующем ходу. Далее Коля может воспользоваться неограниченной с двух сторон последовательностью из двух крестиков в центре — её нетрудно за два хода “вытянуть” до длины