Цена игры
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вася пришел в казино, имея один вшэ-коин (единственную в мире виртуальную валюту, которую можно делить на любые части; например,
можно поставить на кон 
вшэ-коина). В казино игрокам предлагается делать ставки на цвет шара, который будет вытащен из ящика.
Фиксировано число 
причем 
Если цвет вытащенного шара совпадает с тем, на который игрок поставил
денег — игрок получит назад 
денег, если не совпадает — не получит ничего. Для ставок в каждом раунде можно
использовать не только деньги, имевшиеся к началу игры, но и выигрыши прошлых раундов. Перед началом игры Вася смог
подсмотреть, что в ящик положили 3 черных и 3 красных шара (других шаров нет), сыгранные шары обратно в ящик не
возвращаются, игра происходит пока ящик не опустеет. Какую максимальную сумму Вася может гарантированно иметь к концу
розыгрыша?
Источники:
Подсказка 1
Мы понимаем, что у нас в задаче Вася может максимум 6 раз сделать ставку. Тогда имеет смысл "перебрать случаи". Давайте будем заполнять табличку 4 на 4(0, 1, 2 и 3 красных шара по вертикали и аналогично для чёрных по горизонтали), которая будет говорить о том, во сколько раз увеличится выигрыш, когда осталось определённое число шаров. Тогда во сколько раз увеличатся деньги, после того как у нас останутся шары только одного цвета?
Подсказка 2
Верно, они могут увеличиваться в p, p^2, p^3 раз. Вася будет просто ставить всю сумму каждый раз на один цвет. Это то, что будет стоять в крайних столбцах и диагоналях. Ещё понятно, если шаров нет, то мы ничего не выигрываем, то есть 1 коэффициент в клетке (0; 0). Давайте поймём такую вещь, а есть ли Васе смысл ставить деньги на оба шара?
Подсказка 3
Да, смысла в этом нет, Васе надо ставить какую-то часть денег только на один цвет. Если он поставит a денег на один цвет, а b на другой, то получит на 2(p-b) денег меньше, чем если бы поставил a-b на один цвет. Это несложно посчитать. Теперь давайте попробуем разобраться с другими клетками. Например, если остался 1 чёрный и 1 красный шарик. Во сколько раз мы получим больше денег точно? Полезно будет ввести неизвестные.
Подсказка 4
Верно, мы получим больше в p раз. Дело в том, что даже если мы не угадаем шар, то следующим ходом увеличим в p раз количество денег. Давайте теперь попробуем в общем виде провести рассуждения. Если у Васи было X денег, а поставил он aX, где a какое-то число от 0 до 1. Значит, мы можем посчитать случаи, когда Вася угадал и когда не угадал. Но тогда сколько гарантированно он получит? Что это может значить с точки зрения полученных формул?
Подсказка 5
Да, гарантированный выигрыш — это минимум из двух наших выражений. Но можно заметить, что одно из них убывающее, а другое возрастающее от a. Значит, и минимум будет, когда они равны. Отсюда мы получаем a, а потом и во сколько раз увеличится наше количество денег. Так мы, постепенно заполняя таблицу, получим, что должно быть в клетке, где 3 шара каждого цвета. Это и будет ответ на задачу, победа!
Заполним табличку: в клетке 
запишем, на какое максимальное число Вася может гарантированно к концу игры умножить
имеющуюся у него сейчас сумму, если сейчас в ящике осталось 
черных и 
красных шаров. Легко понять, что стоит с краю: если уже не
осталось черных шаров, то Вася может смело ставить все деньги на красный шар, соответственно увеличивая капитал в 
раз за каждый из оставшихся красных шаров. Аналогично если не осталось красных. Это и отмечено в таблице ниже.
Теперь поймем, что должно стоять в клетке 
если мы уже знаем, что в клетках 
и 
стоят числа 
и 
соответственно. Пусть для определенности 
Во-первых, в оптимальной стратегии Вася не должен делать положительные ставки на оба исхода. В самом деле, пусть по своей
стратегии он должен сейчас поставить суммы 
и 
причем 
Тогда пусть вместо этого он поставит 
денег на тот исход,
на который должен был ставить 
и на 
больше денег оставит не поставленными. Тогда при любом исходе он будет иметь на 
денег больше, чем имел бы, если бы ставил 
и 
Теперь поймём, сколько же Вася должен ставить. Ставить он должен на тот цвет, выпадание которого приводит в клетку с числом 
напомним, 
в противном случае если этот цвет выпадет, Вася не сможет увеличить свой капитал более чем в 
раз, а мы строим
стратегию лучше. Для определенности обозначим количество Васиных денег через 
и пусть он поставит 
денег на цвет, выпадение
которого приводит в клетку с числом 
Тогда если выпал этот цвет Вася оказался в этой клетке имея 
денег, соответственно закончит игру, имея не менее 
денег (и не может гарантированно иметь больше).
Если же выпал цвет, приводящий в клетку с числом 
Вася попал туда, имея 
денег, значит закончит игру,
имея не меньше 
денег (и не может гарантированно иметь больше). Итак, гарантированный минимум при этой
стратегии есть 
Поскольку первая из функций под минимумом возрастающая по 
, а
вторая — убывающая, максимум минимума достигается при значении 
для которого функции принимают одно значение.
Имеем
То есть
Иными словами, в интересующей нас клетке должно стоять число
Пользуясь этой формулой и значениями в клетках на краях, заполним всю табличку:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
